群的同态,正规子群,商群,群同态进本定理

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群的同态, 正规子群, 商群, 群同态基本定理

定义 群同态

• 若群 \(G\) 到群 \(\widetilde{G}\) 有一个映射 \(\sigma\), 使得 $$ \sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b),\quad\forall a,b\in G. $$
  则称 \(\sigma\) 是同态.

性质

• (1) \(\sigma(e)=\widetilde{e}\).
  (2) \(\sigma(a^{-1})=\sigma(a)^{-1}\).
  (3) 若 \(H<G\), 则 \(\sigma(H)<\widetilde{G}\).
  (4) \(|\sigma(a)|\big||a|\).

定义

• \(\text{Ker}\sigma:=\{a\in G|\sigma(a)=\widetilde{e}\}\), 称为 \(\sigma\) 的核.

命题

• 设 \(\sigma\) 是群同态, 则 \(\forall a\in G\), 有 $$ a(\text{Ker}\sigma)=(\text{Ker}\sigma)a. $$

定义

• 如果群 \(G\) 的子群 \(H\) 满足: \(\forall a\in G\), 有 $$ aH=Ha. $$
  那么称 \(H\) 是 \(G\) 的正规子群, 记作 \(H\lhd G\).

  特别地, \(\{e\}\) 和 \(G\) 称为 \(G\) 的平凡正规子群.

命题

• 群同态的核 \(\text{Ker}\sigma\) 是 \(G\) 的正规子群.

命题

• 群 \(G\) 的子群 \(H\) 是正规子群当且仅当 $$ aHa^{-1}=H,\quad\forall a\in G. $$

定义

• 设 \(H\) 是 \(G\) 的子群, 任取 \(a\in G\), \(aHa^{-1}\) 也是 \(G\) 的子群, 称之为 \(H\) 的共轭子群.

命题

• \(H\lhd G\Leftrightarrow\ \forall\ a\in G,h\in H,\ aha^{-1}\in H\)

定义

• 当 \(N\lhd G\) 时, 有 \((G/N)_l=(G/N)_r\), 此时记作 \((G/N)\). 并在其上定义乘法 \((aN)(bN)=abN\). 可以验证, 在这个运算下 \((G/N)\) 构成群, 并称之为商群.

注

• 如果 \(H\) 不是 \(G\) 的正规子群, 那么考虑 \(G\) 到左商集 \((G/H)_l\) 上的映射 \(\sigma:a\mapsto aH\) 不是群同态, 因为 \((G/H)_l\) 甚至不是群.

命题

• 设 \(G\) 为, \(N\lhd G\), 则 \(|G/N|=\dfrac{|G|}{|N|}.\)

定理 群同态基本定理

• 设 \(\sigma\) 是群 \(G\) 到 \(\widetilde{G}\) 的一个同态, 则 \(\text{Ker}\sigma\) 是 \(G\) 的一个正规子群, 且 $$ G/\text{Ker}\sigma\cong\text{Im}\sigma. $$

定理 第一群同构定理

• 设 \(G\) 是一个群, \(H<G,N\lhd G\), 则

  (1) \(HN<G\);
  (2) \(H\cap N\lhd H,\ H/(H\cap N)\cong (HN)/N\).

定理 第二群同构定理

• 设 \(G\) 是一个群, \(N\lhd G\), \(H\) 是 \(G\) 的包含 \(N\) 的\(\text{正规子群}\), 则 \(H/N\lhd G/N\), 且 $$ (G/N)/(H/N)\cong G/H. $$